Отдел алгебры и топологии

​​​​​Алгебраическая школа Института математики и механики УрО РАН ведет свое начало с момента организации СОМИ. В 1961 году здесь был создан отдел алгебры под руководством профессора С.Н. Черникова. С 1965 по 1994 год отделом заведовал доктор физико-математических наук Альберт Иванович Старостин. В 1986 году отдел был реорганизован в отдел алгебры и топологии, который с апреля 1994 года возглавляет член-корреспондент РАН А.А. Махнев. 

Сейчас в отделе три сектора: сектор теории групп, сектор алгебры и ее приложений и сектор топологии. Сектор теории групп возглавляет доктор физико-математических наук А.С. Кондратьев, сектор алгебры и ее приложений — член-корреспондент РАН А.А. Махнев. Сектор топологии ведет свое начало от задач алгебраической топологии, которой занимались в институте сотрудники отдела математического анализа во главе с членом-корреспондентом В.К. Ивановым, — кандидат физико-математических наук Ю.А. Шашкин и его ученики. Исследования общих топологических вопросов инициировал доктор физико-математических наук Н.В. Величко, работавший в то время на кафедре математического анализа УрГУ им. А.М. Горького.  К концу 1980-х годов под руководством Н.В. Величко и Е.Г. Пыткеева были подготовлены  около 10 кандидатских и 2 докторских диссертации по общей топологии. Тогда в отделе алгебры в ИММ и был создан сектор топологии, который в 1986–2012 годах возглавлял Н.В. Величко, с 2013 —  доктор физико-математических наук А.В. Осипов. 

Сегодня научную тематику отдела алгебры и топологии составляют теория групп и их представлений (восходит к основателю алгебраической школы института С.Н. Черникову), алгебраическая комбинаторика (это направление А.А. Махнева – теория графов, блок-схемы и конечные геометрии), общая топология (топологические пространства функций – направление основано профессором Н.В. Величко). Сотрудники отдела исследовали не только конечные, но и бесконечные группы (С.Н. Черников, А.И. Старостин), особенно топологические (доктора физико-математических наук В.С. Чарин, Ю.Н. Мухин). 

Выдающийся результат в теории групп — доказательство гипотезы Чарльза Симса в сильной форме — получен докторами физико-математических наук А.С. Кондратьевым и В.И. Трофимовым. Симс предположил, что для примитивной группы подстановок G, действующей на конечном множестве Ω, и для любой орбиты стабилизатора точки Gw на Ω – {w} длины  d порядок группы Gw ограничен некоторой функцией  f(d).  На языке теории графов эта гипотеза формулируется следующим образом: для любого регулярного неориентированного графа Γ степени  d  и вершинно примитивной группы автоморфизмов G этого графа поточечный стабилизатор шара диаметра f(d) с центром в некоторой вершине тривиален. А.С. Кондратьев и В.И. Трофимов доказали, что при указанных предположениях  поточечный стабилизатор шара диаметра  6 тривиален (и построили граф с нетривиальным поточечным стабилизатором шара диаметра 5). Большой вклад в решение проблемы Питера Камерона о стабилизаторах вершин в примитивной группе подстановок внес кандидат физико-математических наук  А.В. Коныгин. 

Алгебраическая комбинаторика — сравнительно новое направление в нашем отделе. Оно возникло в связи с объявленной классификацией конечных простых групп. Изучение комбинаторно симметричных графов, конечных геометрий и блок-схем началось с целью получения новых представлений конечных почти простых групп  как групп автоморфизмов указанных объектов. В этом направлении работали кандидат физико-математических наук А.Н. Фомин и его ученик И.Т. Мухаметьянов. В настоящее время работают молодые исследователи, ученики А.А. Махнева, доктора физико-математических наук Д.В. Падучих, А.Л. Гаврилюк, кандидаты физико-математических наук И.Н. Белоусов, Л.Ю. Циовкина.

Нам удалось реализовать в близкой форме мечту советских алгебраистов о построении новой конечной простой неабелевой группы. После окончания классификации конечных простых групп эта мечта трансформировалась в идею построения хотя бы одного нового российского алгебраического (комбинаторного) объекта — симметричного графа. А.А. Махневу и его ученикам Д.В. Падучих и Л.Ю. Циовкиной удалось открыть три новые бесконечные серии дистанционно регулярных графов (связанных с группами лиева типа ранга 1: Sz(q), U3(q), 2G2(q)). Это достижение признано мировой математической общественностью.

Одно из приоритетных направлений сектора топологии — исследование топологических и алгебраических  свойств непрерывных и бэровских функций, определенных на топологических пространствах. Его результаты находят применение в различных областях математики, например в теории меры, функциональном анализе, динамических системах и других.

• Сектор 1
• Сектор 2
• Сектор 3